函数的基本要素有哪些（初中常用的函数公式）

中本文仅就函数和初中常用函数的一些要点加以简要介绍。

〖函数概念的三要素〗

设有两个相关变量x和y,如果对于每一个允许的变量x的确定的值，都有一个唯一确定的变量y的值与之对应，称y是x的函数。其中的x叫做自变量，y叫做因变量。

不同的x允许对应相同的y；不同的y必定对应不同的x。这是函数关系的核心要点。

函数关系：

上述x与y的对应关系，称为函数关系；

定义域：

自变量x允许取值的全体，称为函数的定义域；

值域：

自变量x取遍定义域内的值时，所得函数值y的全体，称为函数的值域。

函数关系的表达：

. 抽象表达

就是用形如y＝f(x)来表达“y是x的函数”；

. 列表法

对一系列有序的x值，给出对应的函数值，列成表格；

. 解析表达

用含有自变量x的代数式表达函数关系；

. 图像法

根据有序且典型的自变量值与对应的函数值作为直角坐标系中点的坐标，标出这些点，并用一条“平滑曲线”顺序连接这些点所形成的图像，称为函数图像。

函数三要素

函数关系、定义域、值域，合称函数的三要素；

函数相等

函数关系实质相同，且定义域也相同的两个函数，称为是相等的函数。其本质是同一个函数。

<1>. 函数关系相同，定义域不同，是不同的函数；

<2>. 函数关系表象不同，但实质相同，且定义域相同的两个函数，是相等的函数。

通常，含有未知数x的代数恒等式，一般意味着相同的函数关系。

例如，函数

y＝(x＋2)2，定义域为全体实数；

与函数u＝t2＋4t＋4，定义域为全体实数；

是相等的函数，也就是同一个函数。尽管这里函数关系的表象不同，变量的符号也不一样，但这不影响函数关系的本质。

函数y＝(x＋2)2，定义域为全体实数；与函数y＝(x＋2)2，定义域为x＞0；是两个不同的函数，尽管函数关系相同。

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初中阶段接触的函数，主要有：

一次函数、正比例函数、二次函数、反比例函数。

〖一次函数〗

含有自变量x的整式，自变量x的最高次项为1的函数关系。

一次函数往往不严格地称为直线，在习惯上允许这样子讲；但并非所有的直线都是一次函数的图像。

一般表达式：

y＝k·x＋b，其中k和b是两个常系数，且k≠0；若不特别指明，其定义域是全体实数；

若k＝0，则y＝b，尽管y＝b的图像是平行于x轴的直线，但y＝b不是一次函数（尽管它是函数，并称为常函数），因为不满足一次函数的定义。

图像：

在直角坐标系中，一次函数的图像是直线，或者直线的部分，具体由定义域决定。

在一次函数的一般表达式当中，常系数k称为是直线的斜率；常系数b称为y轴上的截距，简称截距；

斜率的计算

设(x1, y1)和(x2, y2)是直线y＝k·x＋b，k≠0上的两个不同的点，则易推得斜率

〖正比例函数〗

一次函数y＝k·x，k≠0，特别地被称为正比例函数，它的图像是经过坐标原点的直线，且关于原点对称。

〖反比例函数〗

y＝k/x，k≠0，称为反比例函数，定义域为x≠0，

. k＞0

图像在I、III象限，中心对称（坐标原点为中心）；轴对称图形，有两个对称轴：<1> 对称轴y＝x，<2> y＝-x；如图。

. k＜0，图像在II、IV象限，中心对称（坐标原点为中心）；轴对称图形，有两个对称轴：<1> 对称轴y＝x，<2> y＝-x，如图。

〖二次函数：抛物线〗

含有自变量x的整式，自变量x的最高次项为2的函数关系.

函数表达式

. 一般式：

y＝ax2＋bx＋c，a≠0

. 顶点坐标式：

y＝a(x＋b/2a)2＋(4ac－b2)/4a，a≠0

. 因式分解式：

y＝a(x－x1)(x－x2) ，a≠0

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定义域：全体实数

值域：全体实数

函数图像

对称轴：x＝- b/2a

顶点坐标：(- b/2a，-△/4a)

判别式：△＝b2－4ac